МАТЕМАТИКА

Математику обычно определяют, перечисляя названия некоторых из ее традиционных разделов. Прежде всего, это арифметика, которая занимается изучением чисел, отношений между ними и правил действий над числами. Факты арифметики допускают различные конкретные интерпретации; например, соотношение 2 + 3 = 4 + 1 соответствует утверждению, что две и три книги составляют столько же книг, сколько четыре и одна. Любое соотношение типа 2 + 3 = 4 + 1, т.е. отношение между чисто математическими объектами без ссылки на какую бы то ни было интерпретацию из физического мира, называется абстрактным. Абстрактный характер математики позволяет использовать ее при решении самых разных проблем. Например, алгебра, рассматривающая операции над числами, позволяет решать задачи, выходящие за рамки арифметики. Более конкретным разделом математики является геометрия, основная задача которой – изучение размеров и форм объектов. Сочетание алгебраических методов с геометрическими приводит, с одной стороны, к тригонометрии (первоначально посвященной изучению геометрических треугольников, а теперь охватывающей значительно больший круг вопросов), а с другой стороны – к аналитической геометрии, в которой геометрические тела и фигуры исследуются алгебраическими методами. Существуют несколько разделов высшей алгебры и геометрии, обладающих более высокой степенью абстракции и не занимающихся изучением обычных чисел и обычных геометрических фигур; самая абстрактная из геометрических дисциплин называется топологией. Математический анализ занимается изучением величин, изменяющихся в пространстве или во времени, и опирается на два основных понятия – функцию и предел, которые не встречаются в более элементарных разделах математики. Первоначально математический анализ состоял из дифференциального и интегрального исчислений, но теперь включает в себя и другие разделы. Различают две основные области математики – чистую математику, в которой акцент делается на дедуктивные рассуждения, и прикладную математику. Термин «прикладная математика» иногда относят к тем ветвям математики, которые созданы специально для того, чтобы удовлетворить запросы и требования науки, а иногда – к тем разделам различных наук (физики, экономики и т.п.), которые используют математику как средство решения своих задач. Многие распространенные заблуждения в отношении математики возникают в результате смешения этих двух толкований «прикладной математики». Арифметика может служить примером прикладной математики в первом смысле, а бухгалтерский учет – во втором. Вопреки широко распространенному мнению математика продолжает быстро развиваться. Журнал «Математическое обозрение» («Mathematical Review») публикует ежегодно ок. 8000 кратких резюме статей, содержащих последние результаты – новые математические факты, новые доказательства старых фактов и даже сведения о совершенно новых областях математики. Существующая ныне тенденция в математическом образовании заключается в стремлении ознакомить учащихся с современными, более абстрактными математическими идеями на более ранних стадиях преподавания математики. См. также . Математика – один из краеугольных камней цивилизации, однако очень немногие люди имеют представление о современном состоянии дел в этой науке. Математика за последние сто лет претерпела огромные изменения, касающиеся как предмета, так и методов исследования. В данной статье мы попытаемся дать общее представление об основных этапах эволюции современной математики, главными результатами которой можно считать, с одной стороны, увеличение разрыва между чистой и прикладной математикой, а с другой – полное переосмысление традиционных областей математики. Около 2000 до н.э. было замечено, что в треугольнике со сторонами в 3, 4 и 5 единиц длины один из углов равен 90 (это наблюдение позволяло легко строить прямой угол для практических надобностей). Заметили ли тогда соотношение 5 ? Относительно этого мы не располагаем никакими сведениями. Через несколько веков было открыто общее правило: в любом треугольнике ABC с прямым углом при вершине A и сторонами b = АС и c = AB , между которыми заключен этот угол, и противолежащей ему стороной a = BC справедливо соотношение a = b + c . Можно сказать, что наука начинается тогда, когда масса отдельных наблюдений объясняется одним общим законом; следовательно, открытие «теоремы Пифагора» можно рассматривать как один из первых известных примеров подлинно научного достижения. Но еще более важное значение для науки вообще и для математики в частности имеет то, что наряду с формулировкой общего закона появляются попытки его доказать, т.е. показать, что он с необходимостью следует из других геометрических свойств. Одно из восточных «доказательств» особенно наглядно в своей простоте: четыре треугольника, равные данному, вписаны в квадрат BCDE так, как показано на чертеже. Площадь квадрата a оказывается разделенной на четыре равных треугольника общей площадью 2 bc и квадрат AFGH площадью ( b – c . Таким образом, a = ( b – c + 2 bc = ( b + c – 2 bc ) + 2 bc = b + c . Поучительно сделать еще один шаг и выяснить точнее, какие «предыдущие» свойства предполагаются известными. Наиболее очевидный факт заключается в том, что поскольку треугольники BAC и BEF точно, без пробелов и наложения, «подогнаны» вдоль сторон BA и BF , это означает, что два угла при вершинах B и С в треугольнике ABС . В приведенном выше «доказательстве» используется также формула ( bc /2) для площади треугольника ABC при вершине A . Фактически были использованы и другие допущения, но и сказанного достаточно, чтобы мы могли наглядно увидеть существенный механизм математического доказательства – дедуктивное рассуждение, позволяющее с помощью чисто логических аргументов (на основе надлежащим образом подготовленного материала, в нашем примере – разбиении квадрата) вывести из известных результатов новые свойства, как правило, не следующие непосредственно из имеющихся данных. Одной из фундаментальных особенностей математического метода является процесс создания с помощью тщательно выстроенных чисто логических аргументов цепочки утверждений, в которой каждое последующее звено соединено с предыдущими. Первое достаточно очевидное соображение состоит в том, что в любой цепочке должно быть первое звено. Это обстоятельство стало очевидно грекам, когда они приступили к систематизации свода математических аргументов в 7 в. до н.э. Для осуществления этого замысла грекам понадобилось ок. 200 лет, и сохранившиеся документы позволяют составить лишь примерное представление о том, как именно они действовали. Точной информацией мы располагаем лишь об окончательном результате исследований – знаменитых Началах Евклида (ок. 300 до н.э.). Евклид начинает с перечисления исходных положений, из которых все остальные выводятся чисто логическим путем. Эти положения называются аксиомами или постулатами (термины практически взаимозаменяемые); они выражают либо весьма общие и несколько расплывчатые свойства объектов любого рода, например «целое больше части», либо какие-то конкретные математические свойства, например, что для любых двух точек существует единственная соединяющая их прямая. У нас нет никакой информации и о том, придавали ли греки некий более глубокий смысл или значимость «истинности» аксиом, хотя существуют кое-какие намеки, что, прежде чем принять те или иные аксиомы, греки некоторое время их обсуждали. У Евклида и его последователей аксиомы представлены лишь как исходные пункты для построения математики без всяких комментариев об их природе. Что касается методов доказательства, то они, как правило, сводились к прямому использованию ранее доказанных теорем. Иногда, правда, логика рассуждений оказывалась более сложной. Мы упомянем здесь излюбленный метод Евклида, вошедший в повседневную практику математики, – косвенное доказательство, или доказательство от противного. В качестве элементарного примера доказательства от противного покажем, что шахматную доску, из которой вырезаны два угловых поля, расположенных на противоположных концах диагонали, невозможно покрыть костями домино, каждая из которых равна двум полям. (Предполагается, что каждое поле шахматной доски должно быть покрыто только один раз.) Предположим, что верно противоположное («противное») утверждение, т.е. что доску можно покрыть костями домино. Каждая кость покрывает одно черное и одно белое поле, поэтому независимо от расположения костей домино они покрывают равное число черных и белых полей. Однако из-за того, что два угловых поля удалены, шахматная доска (на которой первоначально было столько же черных полей, сколько белых) имеет полей одного цвета на два больше, чем полей другого цвета. Это означает, что наше исходное предположение не может быть истинным, так как приводит к противоречию. А поскольку противоречащие друг другу суждения не могут быть ложными одновременно (если одно из них ложно, то противоположное истинно), наше исходное предположение должно быть истинным, ибо противоречащее ему предположение ложно; следовательно, шахматную доску с двумя вырезанными угловыми полями, расположенными по диагонали, невозможно покрыть костями домино. Итак, чтобы доказать некоторое утверждение, мы можем предположить, что оно ложно, и вывести из этого предположения противоречие с каким-нибудь другим утверждением, истинность которого известна. Прекрасный пример доказательства от противного, ставший одной из вех в развитии древнегреческой математики, – доказательство того, что – не рациональное число, т.е. непредставимо в виде дроби p / q , где p и q – целые числа. Если , то 2 = p / q , откуда p = 2 q . Предположим, что существуют два целых числа p и q , для которых p = 2 q . Иначе говоря, мы предполагаем, что существует целое число, квадрат которого вдвое больше квадрата другого целого числа. Если какие-нибудь целые числа удовлетворяют этому условию, то одно из них должно быть меньше всех других. Сосредоточим внимание на наименьшем из таких чисел. Пусть это будет число p . Так как 2 q – четное число и p = 2 q , то число p должно быть четным. Так как квадраты всех нечетных чисел нечетны, а квадрат p четен, значит само число p должно быть четным. Иначе говоря, число p вдвое больше некоторого целого числа r . Так как p = 2 r и p = 2 q , имеем: (2 r = 4 r = 2 q и q = 2 r . Последнее равенство имеет тот же вид, что и равенство p = 2 q , и мы можем, повторяя те же рассуждения, показать, что число q четно и что существует такое целое число s , что q = 2 s . Но тогда q = (2 s = 4 s , и, поскольку q = 2 r , мы заключаем, что 4 s = 2 r или r = 2 s . Так мы получаем второе целое число, которое удовлетворяет условию, что его квадрат вдвое больше квадрата другого целого числа. Но тогда p не может быть наименьшим таким числом (поскольку r = p /2), хотя первоначально мы предполагали, что оно – наименьшее из таких чисел. Следовательно, наше исходное предположение ложно, так как приводит к противоречию, и поэтому не существует таких целых чисел p и q , для которых p = 2 q (т.е. таких, что ). А это означает, что число не может быть рациональным. На протяжении этого периода математика существенно преобразилась в результате трех новаций. (1) В процессе развития алгебры был изобретен способ символической записи, позволявший представлять в сокращенном виде все более сложные соотношения между величинами. В качестве примера тех неудобств, которые возникли бы, не будь такой «скорописи», попробуем передать словами соотношение ( a + b = a + 2 ab + b : «Площадь квадрата со стороной, равной сумме сторон двух данных квадратов, равна сумме их площадей вместе с удвоенной площадью прямоугольника, стороны которого равны сторонам данных квадратов». (2) Создание в первой половине 17 в. аналитической геометрии, давшей возможность любую задачу классической геометрии свести к некоторой алгебраической задаче. (3) Создание и развитие в